Question

8．为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人有关回答问题，统计结果如下图表．

组号	分组	回答 正确 的人数	回答正确 的人数占本 组的频率
第1组	[15，25）	a	0.5
第2组	[25，35）	18	x
第3组	[35，45）	b	0.9
第4组	[45，55）	9	0.36
第5组	[55，65]	3	y

（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．

Answer 1

分析 （I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；
（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为$\frac{6}{54}$，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；
列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．

解答 解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为$\frac{9}{0.36}=25$，
再结合频率分布直方图可知n=$\frac{25}{0.025×10}=100$，
∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，$x=\frac{18}{20}=0.9，y=\frac{3}{15}=0.2$…（4分）
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：$\frac{18}{54}×6=2$人；第3组：$\frac{27}{54}×6=3$人；第4组：$\frac{9}{54}×6=1$人…（8分）
设第2组2人为：A₁，A₂；第3组3人为：B₁，B₂，B₃；第4组1人为：C₁．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₁，C₁），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₂，C₁），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，C₁），（B₂，B₃），（B₂，C₁），（B₃，C₁）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，…（10分）
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：$P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．