Question

16．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，|$\overrightarrow{OP}$|=（1-t）|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{OQ}$|=t|$\overrightarrow{OB}$|，0≤t≤1，|$\overrightarrow{PQ}$|在t₀时取得最小值，当0＜t₀＜$\frac{1}{5}$时，求$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角范围．

Answer 1

分析 由向量的运算可得|$\overrightarrow{PQ}$|²=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{5}$，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，
由题意可得 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2×1×cosθ=2cosθ，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OB}$-（1-t）$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|²=$\overrightarrow{PQ}$²=t²$\overrightarrow{OB}$²+（1-t）²$\overrightarrow{OA}$²-2t（1-t）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（1-t）²+4t²-4t（1-t）cosθ，
=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1
由二次函数知当上式取最小值时，t₀=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，
由题意可得0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{5}$，
解得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜0，
∴$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，
故$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角范围为：（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）．

点评 本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属中档题．