Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（log₂a_n）×（log₂a_n+1），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差数列，可得S_n=2a_n-2．利用递推式与等比数列的通项公式可得a_n．
（2）由b_n=（log₂a_n）×（log₂a_n+1）=n（n+1），可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵2，a_n，S_n成等差数列，∴2a_n=2+S_n，即S_n=2a_n-2．
当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）∵b_n=（log₂a_n）×（log₂a_n+1）=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．