Question

15．设$\overrightarrow{a}$=（1+cos2α，sin2α），$\overrightarrow{b}$=（1-cos2β，sin2β）$\overrightarrow{c}$=（1，0），其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π）
（1）求向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，求α-β的值．

Answer 1

分析 （1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（1+cos2α）^{2}+si{n}^{2}2α}$=$\sqrt{2+2cos2α}$，再利用倍角公式即可得出；
$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（1-cos2β）^{2}+si{n}^{2}2β}$=$\sqrt{2-2cos2β}$，再利用倍角公式即可得出；
（2）利用向量夹角公式可得：cosθ₁=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=cosα，可得θ₁=α．同理可得θ₂=$β-\frac{π}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（1+cos2α）^{2}+si{n}^{2}2α}$=$\sqrt{2+2cos2α}$=2cosα（α∈（0，$\frac{π}{2}$））；
$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（1-cos2β）^{2}+si{n}^{2}2β}$=$\sqrt{2-2cos2β}$=2sinβ（β∈（$\frac{π}{2}$，π））．
（2）cosθ₁=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1+cos2α}{2cosα}$=cosα，∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ₁=α．
cosθ₂=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-cos2β}{2sinβ}$=sinβ=$cos（\frac{π}{2}-β）$=$cos（β-\frac{π}{2}）$，∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴$（β-\frac{π}{2}）$∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴θ₂=$β-\frac{π}{2}$，
∵θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，
∴$α-（β-\frac{π}{2}）$=$\frac{π}{6}$，
∴α-β=$\frac{π}{6}-\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．