Question

15．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-2，x）．
（Ⅰ）当$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$时，求x的值；
（Ⅱ）当x=-1时，求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值；
（Ⅲ）当$\overrightarrow a⊥（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）$时，求|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0；
（II）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；
（III）$\overrightarrow a⊥（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，可得$\overrightarrow a•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0$． 解出再利用模的计算公式 即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a⊥$$\overrightarrow b$，
∴1×（-2）+2x=0，即x=1．
（Ⅱ）∵x=-1，
$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1×（-2）+2×（-1）=-4$，
且$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{5}$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{5}$．
∴向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|}}=-\frac{4}{5}$．
（Ⅲ）依题意 $4\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{2，8+x}）$． 
∵$\overrightarrow a⊥（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow a•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0$．  
即2+16+2x=0，∴x=-9．
∴$\overrightarrow b=（-2，-9）$． 
∴$|\overrightarrow b|=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．