Question

13．推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功．请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题．
已知a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0．求证：a，b，c，全为正数．

Answer 1

分析 本题是一个全部性问题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．于是考虑采用反证法．假设a，b，c不全是正数，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形．但注意到条件的特点（任意交换a，b，c的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如a），其他两个数（例如b，c）与这种情形类似．

解答 证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，
则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0．…（3分）
又∵ab+bc+ca＞0，∴a（b+c）+bc＞0，且bc＜0，
∴a（b+c）＞0．①…（7分）
又∵a＜0，∴b+c＜0．∴a+b+c＜0…（10分）
这与a+b+c＞0相矛盾．
故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．…（12分）

点评 当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功．