Question

12．向量$\vec a$，$\vec b$满足$（\vec a-2\vec b）⊥（\vec a+\vec b）$，且|$\vec a|=4$，|$\vec b|=2$，则$\vec a$在$\vec b$方向上的投影为4．

Answer 1

分析 向量$\vec a$，$\vec b$满足$（\vec a-2\vec b）⊥（\vec a+\vec b）$，可得$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$•$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=0，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．即可得出$\vec a$在$\vec b$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$．

解答 解：∵向量$\vec a$，$\vec b$满足$（\vec a-2\vec b）⊥（\vec a+\vec b）$，
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$•$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4²-2×2²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8．
∴$\vec a$在$\vec b$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8}{2}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．