Question

如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA₁B₁C₁．
（1）求矩阵T；
（2）设双曲线F：x²-y²=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′，求曲线F′的方程．

Answer 1

考点：矩阵变换的性质

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）利用待定系数法，即可求矩阵T；
（2）曲线C上任意一点P（x，y），根据矩阵变换的公式求出对应的点P′（x′，y′），解出由x′、y′表示x，y的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C'的方程．

解答： 解：（1）设T=

a b c d

，
由

a b c d

1 0

=

2 1

，解得

a=2 c=1

                    …（3分）
由

a b c d

0 1

=

1 2

，解得

b=1 d=2

所以T=

2 1 1 2

．                                 …（7分）
（2）设曲线F上任意一点P（x，y）在矩阵T对应的变换作用下变为P′（x′，y′），则

2 1 1 2

x y

=

x′ y′

，即

2x+y=x′ x+2y=y′

，所以

x= 2x′-y′ 3 y= 2y′-x′ 3

　　　…（9分）
因为x²-y²=1，
所以（2x?-y?）²-（2y?-x?）²=9，即x?²-y?²=3，…（12分）
故曲线F?的方程为x²-y²=3．…（14分）

点评：本题给出矩阵变换，求曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的曲线C'方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．