Question

已知a，b为常数，a≠0，函数f（x）=ax²+bx（x∈R），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）设集合A={x|f（x）+k＞0}，B={x|-2≤x≤3}，若A⊆B，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的解析式、f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．再利用二次函数的性质求得函数的值域．
（2）由题意可得A⊆B，分①当A=∅时、②当A≠∅时两种情况，分别利用二次函数的性质求得k的范围，再取并集，即得所求．
（3）由条件可得

m＜n≤ 1 4 f(m)=2m f(n)=2n

，求得m、n的值，可得结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，∴4a+2b=0．
又方程f（x）=x，即ax²+bx=x，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²-4×a×0=0，即b=1，从而a=-

1

2

，∴f(x)=-

1

2

x2+x．
又f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，故函数的值域为{y|y≤

1

2

}．
（2）A={x|-

1

2

x2+x+k＞0}，∵A⊆B，
①当A=∅时，A⊆B，此时△′=1-4(-

1

2

)k≤0，解得k≤-

1

2

．
②当A≠∅时，设g(x)=-

1

2

x2+x+k，对称轴x=1，要A⊆B，只需

△′＞0 g(-2)≤0 g(3)≤0

，
解得

k＞- 1 2 k≤4 k≤ 3 2

，∴-

1

2

＜k≤

3

2

．
综合①②，得k≤

3

2

．
（3）∵f(x)≤

1

2

，则有2n≤

1

2

，n≤

1

4

，
又对称轴x=1，∴f（x）在[m，n]是增函数，∴

m＜n≤ 1 4 f(m)=2m f(n)=2n

，
解得m=-2，n=0，
∴存在m=-2，n=0使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]．

点评：本题主要考查二次函数的性质、集合间的包含关系，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．