Question

已知函数f（x）=2

3

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+π）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并指出此时x的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为f（x）=2sin（2ωx+

π

3

），再根据的最小正周期为π，求得ω的值，可得f（x）的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数g（x）=2sin（2ωx-

π

3

），再由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的最大值和最小值，并指出此时x的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2

3

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+π）
=

3

sin（2ωx+

π

2

）+sin2ωx=

3

cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）的最小正周期为π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2ωx+

π

3

）．
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位长度，
得到函数g（x）=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=2sin（2ωx-

π

3

）的图象，
由x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
故当2x-

π

3

=-

π

3

，即当x=0时，函数g（x）取得最小值为-

3

；
当2x-

π

3

=

π

2

，即当x=

5π

12

时，函数g（x）取得最大值为 2．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．