Question

（Ⅰ）求证：

3

+

7

＜2

5

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一个小于2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（Ⅰ）利用了分析法，和两边平方法，
（Ⅱ）利用了反证法，假设：

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．

解答： （Ⅰ）证明：因为

3

+

7

和2

5

都是正数，所以为了证明

3

+

7

＜2

5

，
只要证 （

3

+

7

）²＜（2

5

）²
只需证：10+2

21

＜20，
即证：2

21

＜10，
即证：

21

＜5，
即证：21＜25，
因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．
（Ⅱ）证明：假设：

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即 a+b≤2
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．

点评：本题主要考查了推理论证的两种方法分析法和反证法，属于中档题．