Question

已知函数f（x）=sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

-

π

4

）-sin²

x

2

，先将f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标伸长到原来的

2

倍，得到g（x）的图象．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

4

]，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=2af（x）+

a

2

g（x）+1，x∈[0，

π

4

]，a≠0，试求F（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

），从而求得它的周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．
（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=sin2x，再利用三角恒等变换求得F（x）=a（sinx+cosx+sinxcosx），令sinx+cosx=t，可得F（x）=

a

2

（t+1）²+1-a，分类讨论结合t的范围以及二次函数的性质，求得F（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

-

π

4

）-sin²

x

2

=cos（

π

4

-

x

2

）cos（

x

2

-

π

4

）-sin²

x

2

=

1+cos(x- π 2 )

2

-

1-cosx

2

=

1

2

（sinx+cosx）=

2

2

sin（x+

π

4

），
∴函数f（x）的周期为

2π

1

=2π．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

π

2

]，∴sin（x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，
∴f（x）∈[

1

2

，

2

2

]．
（3）将f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

，
纵坐标伸长到原来的

2

倍，得到g（x）=sin2x的图象，
F（x）=2af（x）+

a

2

g（x）+1=

2

asin（x+

π

4

）+

a

2

sin2x=a（sinx+cosx+sinxcosx），
令sinx+cosx=t，则由x∈[0，

π

4

]，a≠0，可得 t∈[1，

2

]，
且F（x）=

a

2

（t+1）²+1-a，
若a＞0，则当t=1时，F（x）取得最小值为a+1．
若a＜0，则当t=

2

时，F（x）取得最小值为

2 2 +1

2

a+1．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角恒等变换以及二次函数的性质应用，体现了转化以及等价转化的数学思想，属于中档题．