Question

如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：
（1）AE⊥平面PBC；
（2）平面PAC⊥平面PBC；
（3）PB⊥EF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据底面是圆，得到BC⊥AC，再根据PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，最后综合即可证明AE⊥平面PBC；
（2）利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PAC⊥平面PBC；
（3）证明PB⊥平面AEF，即可证明PB⊥EF．

解答： 证明：（1）因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，即AC⊥BC．
又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC．
又BC?平面ABC，所以BC⊥PA．
又因为AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC．
因为AE?平面PAC，所以BC⊥AE．
又已知AE⊥PC，PC∩BC=C，
所以AE⊥平面PBC．
（2）因为AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
（3）因为AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，
所以AE⊥PB．
又AF⊥PB于点F，且AF∩AE=A，
所以PB⊥平面AEF．
又因为EF?平面AEF，所以PB⊥EF．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间线面垂直、面面垂直、线线垂直之间关系的转化是解答本题的关键．