Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且AD=

2

PA=

2

PD．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得推导出CD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥CD．
（Ⅱ）由已知条件推导出CD⊥平面PAD，CD=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，
∴PA⊥CD…（6分）
（Ⅱ）∵PA=PD=

2

2

AD=

2

，
∴PA²+PD²=AD²，∴PA⊥PD，S△PAD=

1

2

(

2

)2=1，
又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，
∴VP-ADC=VC-PAD=

1

3

×1×2=

2

3

，
∴VP-ABCD=2VP-ADC=2×

2

3

=

4

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．