Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，A₁B=

2

．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）若D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD；
（3）若D为AB得三等分点，且

AD

DB

=2，求平面A₁CD将三棱柱分成左，右两部分体积的比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；
（3）V_左=

1

3

•2S•h=

2

3

Sh，V_柱=3Sh，V_右=3Sh-

2

3

Sh=

7

3

Sh，即可求出平面A₁CD将三棱柱分成左，右两部分体积的比．

解答： （1）证明：在△A₁AC中，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=1，
∴A₁C=1，
在△A₁BC中，BC=1，A₁C=1，A₁B=

2

，
∴∠A₁BC=90°，∴BC⊥A₁C，
又AA₁⊥BC，AA₁∩A₁C=A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）证明：连接A₁C交AC₁于O，连接DO
则由D为AB中点，O为AC₁中点得，OD∥BC₁，
∵OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC；
（3）解：记S_△CBD=S，则S_△CAD=2S，S_△CAB=2S，棱柱的高为h，则
V_左=

1

3

•2S•h=

2

3

Sh，V_柱=3Sh，V_右=3Sh-

2

3

Sh=

7

3

Sh，
∴平面A₁CD将三棱柱分成左，右两部分体积的比为2：7．

点评：熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键．