Question

已知数列{a_n}和{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n．求证：数列{c_n}不是等比数列．

Answer 1

考点：等比数列

专题：等差数列与等比数列

分析：假设{c_n}是等比数列，设a_n=a₁•p^n-1，b_n=b₁•q^n-1，p≠q，则c_n=a₁•p^n-1+b₁•q^n-1，由

cn+1

cn

=

cn

cn-1

推导出p=q，与题设矛盾，假设错误，故数列{c_n}不是等比数列．

解答： 证明：用反证法，假设{c_n}是等比数列，
设a_n=a₁•p^n-1，b_n=b₁•q^n-1，p≠q
则c_n=a₁•p^n-1+b₁•q^n-1，

∵{c_n}是等比数列，∴

cn+1

cn

=

cn

cn-1

，①
c_n+1=a₁•pⁿ+b₁•qⁿ，
c_n-1=a₁•p^n-2+b₁•q^n-2，
代入①并化简可得（p-q）²=0，即p=q
与题设矛盾，假设错误，
∴数列{c_n}不是等比数列．

点评：本题考查数列不是等比数列的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．