Question

已知f（x）=

1

3

x³+x²-3x+1
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程．
（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=x²+2x-3，从而f′（2）=5，又f（2）=

5

3

，进而求出切线方程，（Ⅱ）令f′（x）＞0，则x²+2x-3＞0，解不等式即可求出单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³+x²-3x+1，
∴f′（x）=x²+2x-3，
∴f′（2）=5，
又f（2）=

5

3

，
∴所求切线方程为：y-

5

3

=5（x-2），
即：15x-3y-25=0，
∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程．
（Ⅱ）令f′（x）＞0，
则x²+2x-3＞0，
解得：x＜-3，或x＞1，
∴函数y=f（x）的增区间为：（-∞，-3），（1，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求切线方程问题，本题是一道基础题．