Question

设数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n=1，2，3，…，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件根据等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式；由S_n=2ⁿ-1，得到S_n-1=2^n-1-1（n≥2），两式相减推导出{b_n}是等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）c_n=a_n•b_n是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
∵a₅=14，a₇=20，
∴a₁+4d=14，a₁+6d=20，
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1．
∵S_n=2ⁿ-1①，
∴S_n-1=2^n-1-1（n≥2）②，
由①-②得b_n=2ⁿ（n≥2），
n=1时也成立，∴b_n=2ⁿ；
（2）c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ．
∴T_n=2•2+5•2²…+（3n-1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²…+（3n-4）•2ⁿ+（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．