Question

设函数f（x）=ax³+bx²+c，其中a+b=0，a，b，c均为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0，a+b=0，建立方程，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．

解答： 解：（Ⅰ）因为f′（x）=3ax²+2bx，
所以f′（1）=3a+2b，
又因为切线x+y=1的斜率为-1，所以3a+2b=-1，a+b=0，
解得a=-1，b=1，…（3分）
f（1）=c，由点（1，c）在直线x+y=1上，可得1+c=1，即c=0，
所以a=-1，b=1，c=0；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2x=0，解得x=0或x=

2

3

，…（8分）
当x∈（-∞，0）时f′（x）＜0；当x∈（0，

2

3

）时f′（x）＞0；
当x∈（

2

3

，+∞）时f′（x）＜0，…（10分）
所以f（x）的增区间为（0，

2

3

），减区间为（-∞，0）、（

2

3

，+∞）．  …（12分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．