Question

2014年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽车油费共0.7万元，
汽车维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费用均比上一年增加0.2万元
（1）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用，保险费，养路费，汽车费及维修费）为f（n），求f（n）的表达式．
（2）这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；
（2）由（1）中使用n年该车的总费用，得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．

解答： 解：（1）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为

[0+0.2(n-1)]

2

n=0.1n2-0.1n（万元）…（3分）
所以f（n）=14.4+0.7n+（0.1n²-0.1n）
=0.1n²+0.6n+14.4（万元）…（6分）
（2）该辆轿车使用n年的年平均费用为

f(n)

n

=

0.1n2+0.6n+14.4

n

0.1n+0.6+

14.4

n

…（9分）
≥2

0.1n× 14.4 n

+0.6
=3（万元）…（11分）
当且仅当0.1n=

14.4

n

时取等号，此时n=12
答：这种汽车使用12年报废最合算．…（13分）

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（1）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（2）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．