Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁；
（2）（文）设点E是直线B₁C₁上一点，且DE∥平面AA₁B₁B，求四棱锥E-AA₁C₁C的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由平行四边形AA₁C₁C中AC=A₁C₁，结合题意证出△AA₁C₁为等边三角形，同理得△ABC₁是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC₁，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）确定点E是B₁C₁的中点，求出BD，利用体积公式，即可求四棱锥E-AA₁C₁C的体积．

解答： （1）证明：因为四边形AA₁C₁C为平行四边形，所以AC=A₁C₁
因为AC=AA₁，所以AA₁=A₁C₁，
因为∠AA₁C₁=60°，所以△AA₁C₁为等边三角形，
同理△ABC₁是等边三角形，
因为D为AC₁的中点，所以BD⊥AC₁，
因为平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，BD?平面ABC₁，
所以BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：设点F是A₁C₁的中点，因为点D是AC₁的中点，所以DF∥平面AA₁B₁B，
又因为DE∥平面AA₁B₁B，
所以平面DEF∥平面AA₁B₁B，
又平面DEF∩平面A₁B₁C₁=EF，
平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，
所以EF∥A₁B₁，
所以点E是B₁C₁的中点．
由已知可得AC₁=2，从而BD=

3

，
所以四棱锥E-AA₁C₁C的体积VE-AA1C1C=

1

2

VB1-AA1C1C=

1

2

VB-AA1C1C=

1

6

×

1

2

×2×2sin60°×

3

=

1

2

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，四棱锥E-AA₁C₁C的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．