Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2

2

，AA₁=4，E为AA₁上一点，且A₁E=3EA．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面C₁BD；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，C₁O，证明EO⊥平面BDC₁，即可证明平面EBD⊥平面C₁BD；
（Ⅱ）设EC与AC₁交点为F，则四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分为四棱锥F-ABCD，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接EO，C₁O，
∵四边形ABCD为正方形，AB=2

2

，
∴AC=4，AO=

1

2

AC=2，
∵A₁A=4，AE=3EA，
∴EA=1，
∴tan∠EOA=

1

2

，tan∠C₁OC=2，
∴∠EOA+∠C₁OC=90°，
∴EO⊥OC₁，
∵ED=3，EB=3，
∴ED=EB，
∴在△EBD中，EO⊥BD
∴EO⊥平面BDC₁．
又EO?平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：设EC与AC₁交点为F，则四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分为四棱锥F-ABCD，
在矩形A₁ACC₁中，

CF

EF

=

CC1

AE

=4，∴

CF

CE

=

4

5

，
∴F到AC的距离d=

4

5

AE=

4

5

，
∴F到平面ABCD的距离为

4

5

，
∴四棱锥F-ABCD的高为

4

5

，
∴V_F-ABCD=

1

3

•(2

2

)2•

4

5

=

32

15

，
∴四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分的体积为

32

15

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，体积的计算，其中熟练掌握面面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．