Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E为BC中点．将△CDE沿DE折起至△PDE，使得平面PDE⊥平面ABED，M，N分别为DE，PB的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥面APD；
（Ⅱ）求二面角D-NE-P的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AM，PM，由题意知AM，PM，EM两两垂直，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥面APD．
（Ⅱ）分别求出平面DNE的法向量和平面NEP的法向量，利用同向量法能求出二面角D-NE-P的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结AM，PM，由题意知AM，PM，EM两两垂直，
以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知，M（0，0，0），P（0，0，

3

），
B（

3

，2，0），N（

3

2

，1，

3

2

），
D（0，-1，0），A（

3

，0，0），E（0，1，0），

MN

=(

3

2

，1，

3

2

)，

AD

=(-

3

，-1，0)，

AP

=(-

3

，0，

3

)，
设平面APD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AD =- 3 x-y=0 n • AP =- 3 x+ 3 z=0

，取x=

3

，得

n

=(

3

，-3，

3

)，
∵

MN

•

n

=

3

2

×

3

-3+

3

2

×

3

=0，
∵MN不包含于面APD，∴MN∥面APD．
（Ⅱ）解：

EN

=(

3

2

，0，

3

2

)，

DN

=(

3

2

，2，

3

2

)，

EP

=(0，-1，

3

)，
设平面DNE的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

3 2 x1+ 3 2 z1=0 3 2 x1+2y1+ 3 2 z1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，0，-1)，
设平面NEP的法向量

p

=(x2，y2，z2)，
则

3 2 x2+ 3 2 z2=0 -y2+ 3 z2=0

，取x₂=

3

，得

p

=(

3

，-3，-

3

)，
设二面角D-NE-P的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

3 +0+ 3

2 • 15

|=

10

5

．
∴二面角D-NE-P的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．