Question

已知点A（a，0），B（0，b）（其中a，b均大于4），直线AB与圆C：x²+y²-4x-4y+4=0 相切．
（1）求证：（a-4）（b-4）=8
（2）求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由条件利用直线和圆相切的性质可得圆心到切线的距离等于半径，化简可得结论．
（2）设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则a=2x，b=2y，再根据（a-4）（b-4）=8化简可得结论．

解答： （1）证明：∵直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
因为直线AB与圆C：（x-2）²+（y-2）²=4相切，所以

|2b+2a-ab|

a2+b2

=2．
所以ab-4b-4a+8=0，即（a-4）（b-4）=8．
（2）设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则a=2x，b=2y，
所以（2x-4）（2y-4）=8，即（x-2）（y-2）=2，（x＞2，y＞2）．
即线段AB的中点M的轨迹方程为（x-2）（y-2）=2，（x＞2，y＞2）．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，线段的中点公式，求点的轨迹方程，属于基础题．