Question

如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（1）求证：AE=EB；
（2）求EF•FC的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA²=EF•EC，EB²=EF•EC，由此能证明AE=EB．
（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，

BF

BC

=

BE

EC

，由射影定理得EF•FC=BF²，由此能求出结果．

解答： （1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，
而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线
依据切割线定理，得EA²=EF•EC…（2分）
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB²=EF•EC…（4分）
故AE=EB…（5分）
（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，
∴BF⊥EC
在RT△EBC中，有

BF

BC

=

BE

EC

…（7分）
又在Rt△BCE中，
由射影定理得EF•FC=BF²=(

1×2

5

)2=

4

5

．…（10分）

点评：本题考查与圆有关的线段相等的证明，考查两线段乘积的求法，解题时要注意射影定理和切割线定理的合理运用．