Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N⁺），则连乘积a₁a₂a₃…a₂₀₁₃a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：依次求出数列的前5项，得到数列{a_n}是周期为4的周期数列，且a₁a₂a₃a₄=1，由此能求出a₁a₂a₃…a₂₀₁₃a₂₀₁₄．

解答： 解：∵a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N⁺），
∴a2=

1+2

1-2

=-3，
a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，
a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
∴数列{a_n}是周期为4的周期数列，且a₁a₂a₃a₄=1，
∵2014=503×4+2，
∴a₁a₂a₃…a₂₀₁₃a₂₀₁₄=503×1×a₁×a₂=2×（-3）=-6．
故答案为：-6．

点评：本题考查数列的连乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．