Question

17．若椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的左右焦点为F₁、F₂，P是椭圆上一点，当△F₁PF₂的面积最大时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． -2

Answer 1

分析 求出椭圆的a，b，c，设出P（m，n），由△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|n|，由题意的范围，可得当|n|=1时，S最大．求得P的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
设P的坐标为（m，n），则n|≤1，
△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|n|
=c|n|=$\sqrt{3}$|n|，
当|n|=1时，S最大．
即有P（0，±1），
又F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-m，-n），
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=m²-3+n²=0-3+1=-2．
故选D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的范围的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．