Question

2．平面内给定三个向量$\vec a=（{3，2}），\vec b=（{-1，2}），\vec c=（{4，1}）$，
（1）求满足$\vec a=m\vec b+n\vec c$的实数m，n；
（2）若$（{\vec a+k\vec c}）∥（{2\vec b-\vec a}）$，求实数k．

Answer 1

分析 （1）由题意和向量的坐标运算求出m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出m和n的值；
（2）由题意和向量的坐标运算求出$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$和2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的坐标，再由向量共线的条件列出方程．求出k的值．

解答 解：（1）∵向量$\vec a=（{3，2}），\vec b=（{-1，2}），\vec c=（{4，1}）$，
∴m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n），
∵$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$，
∴（3，2）=（-m+4n，2m+n），
即$\left\{\begin{array}{l}3=-m+4n\\ 2=2m+n\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{5}{9}$，n=$\frac{8}{9}$，
（2）由题意得，$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），
2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2），
∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
∴2（3+4k）+5（2+k）=0，
解得k=-$\frac{16}{13}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的条件，属于中档题．