Question

11．下列结论正确的是（　　）

• A． 当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$
• B． 当x＞0时，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
• C． 当x≥2时，$x+\frac{1}{x}$的最小值为2
• D． 当0＜x≤2时，$x-\frac{1}{x}$无最大值

Answer 1

分析 A．当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，sinx∈（0，1），利用基本不等式的性质即可判断出正误．
B．当x＞0时，利用基本不等式的性质即可判断出正误．
C．令f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可判断出正误．
D．令f（x）=x-$\frac{1}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可判断出正误．

解答 解：A．当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，sinx∈（0，1），∴$sinx+\frac{1}{sinx}$＞2，因此等号不成立；
B．当x＞0时，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$=2，当且仅当x=1时取等号，因此正确；
C．令f（x）=x+$\frac{1}{x}$，∵x≥2，∴${f}^{′}（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＞0，∴函数f（x）单调递增，∴f（x）≥f（2）=$\frac{5}{2}$＞2，因此不正确．
D．令f（x）=x-$\frac{1}{x}$，∵0＜x≤2，∴f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函数f（x）单调递增，∴f（x）≤f（2）=$\frac{3}{2}$，为最大值，因此不正确．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．