Question

16．设a=$\int_{-1}^1{（sinx+1）dx}$，则二项式${（a{x^2}-\frac{1}{x}）^6}$展开式中的第6项的系数为12．

Answer 1

分析 先根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出第6项的系数．

解答 解：a=$\int_{-1}^1{（sinx+1）dx}$=（-cosx+x）${|}_{-1}^{1}$=2，
∴${（a{x^2}-\frac{1}{x}）^6}$=（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶，
∴T_k+1=${C}_{6}^{k}（2{x}^{2}）^{6-k}•（-\frac{1}{x}）^{k}$，
∴T₆=T₅₊₁=-6•2x^-3=-12x^-3，
∴展开式中的第6项的系数为-12，
故答案为：-12．

点评 本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于基础题．