Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意正整数n，都有S_n+2=2a_n成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{2n-1}{a_n}（n∈{N^*}）$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）通过S₁+2=2a₁可知a₁=2．通过S_n+2=2a_n与S_n+1+2=2a_n+1作差、整理可知数列{a_n}是公比为2的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$写出T_n、$\frac{1}{2}$T_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）解：当n=1时，S₁+2=2a₁，所以a₁=2．
因为S_n+2=2a_n，则S_n+1+2=2a_n+1．
两式相减，得S_n+1-S_n=2（a_n+1-a_n），
即a_n+1=2（a_n+1-a_n），即a_n+1=2a_n．
所以数列{a_n}是首项为2、公比为2的等比数列，
故${a_n}={2^n}$．
（2）证明：∵${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$．①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．②
①-②，得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}+（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$．
∴${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．
∵$\frac{2n+3}{2^n}＞0$，
∴T_n＜3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．