Question

15．函数f（x）=x²（0＜x＜1）的图象如图，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与x轴和x=1分别交于P、Q，点N（1，0），设△PQN的面积S=g（t）
（1）求g（t）的表达式；
（2）若g（t）在区间（m，n）上单调递增，求n的最大值；
（3）若△PQN的面积为b时的点M恰有两个，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设M（t，t²），利用导数求出函数在M点处的切线方程，求出P，Q点的坐标，由三角形的面积公式求出△PQN的面积；
（2）整理得：g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），求导数，确定函数的单调性，利用g（t）在区间（m，n）上单调递增，即可求n的最大值；
（3）由导数求出g（t）的最大值，再求出g（0），g（1）的值，从而得到△PQN的面积为S时点M恰好有两个时的4S的范围，则S的范围可求．

解答 解：（1）设点M（t，t²），由f（x）=x²（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，
∴过点M的切线PQ的斜率k=2t．
∴切线PQ的方程为y=2tx-t²．
取y=0，得x=$\frac{t}{2}$，取x=1，得y=2t-t²，
∴P（$\frac{t}{2}$，0）、Q（1，2t-t²），
∴S=g（t）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{t}{2}$）（2t-t²）．
（2）整理得：g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），
则g′（t）=$\frac{1}{4}$（3t²-8t+4），
由g′（t）=0，解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=2（舍）．
∴当t∈（0，$\frac{2}{3}$）时，g′（t）＞0，g（t）为增函数．
当t∈（$\frac{2}{3}$，1）时，g′（t）＜0，g（t）为减函数．
∵g（t）在区间（m，n）上单调递增，
∴n的最大值为$\frac{2}{3}$；
（3）当t=$\frac{2}{3}$时，g（t）有极大值，也就是（0，1）上的最大值，为$\frac{32}{27}$．
又g（0）=0，g（1）=1．
∴要使△PQN的面积为S时点M恰好有两个，
则1＜4S＜$\frac{32}{27}$，即$\frac{1}{4}$＜S＜$\frac{8}{27}$．
∴S的取值范围为（$\frac{1}{4}$，$\frac{8}{27}$）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法，是中档题．