Question

12．设函数f（x）=log₄（4^x+1）+ax（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若a=0，试用定义法证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅲ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（-x）恒成立，进而可得a值；
（Ⅱ）若a=0，f（x）=log₄（4^x+1），设x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数奇偶的定义，可得函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅲ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，mt+m≤1对任意t∈[-2，1]恒成立，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（-x）恒成立，
即${log_4}（{4^x}+1）+ax={log_4}（{4^{-x}}+1）-ax$，所以$2ax={log_4}\frac{{{4^{-x}}+1}}{{{4^x}+1}}={log_4}\frac{1}{4^x}=-x$，
所以（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故$a=-\frac{1}{2}$．（4分）
（Ⅱ）证明：设x₁＜x₂，
那么$f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_4}（{4^{x_1}}+1）-{log_4}（{4^{x_2}}+1）={log_4}（{\frac{{{4^{x_1}}+1}}{{{4^{x_2}}+1}}}）$
因为x₁＜x₂，
所以0＜${4}^{{x}_{1}}$＜${4}^{{x}_{2}}$，$\frac{{4}^{{x}_{1}}+1}{{4}^{{x}_{2}}+1}∈（0，1）$，$lo{g}_{4}（\frac{{4}^{{x}_{1}}+1}{{4}^{{x}_{2}}+1}）$＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在定义域R上是单调增函数．（9分）
（Ⅲ）$f（x）+f（-x）={log_4}（{4^x}+1）+ax+{log_4}（{4^{-x}}+1）-ax={log_4}（{4^x}+1）+{log_4}（{4^{-x}}+1）$=${log_4}（{4^x}+1）（{4^{-x}}+1）={log_4}（2+{4^x}+{4^{-x}}）$
设$g（r）=2+r+\frac{1}{r}$，其中r=4^x，x∈R，r＞0，
由双钩函数的图象知，r=1时，g（r）有最小值4．
∴f（x）+f（-x）≥log₄4=1
所以mt+m≤1对任意t∈[-2，1]恒成立，令h（t）=mt+m，
由$\left\{\begin{array}{l}h（-2）=-2m+m≤1\\ h（1）=m+m≤1\end{array}\right.$解得$-1≤m≤\frac{1}{2}$，（14分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，恒成立问题，难度中档．