Question

【题目】已知△ABC的三边长都是有理数.

(1)求证：cos A是有理数；

(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）设出三边为根据三者为有理数可推断出 是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出 也为有理数，根据余弦定理可知，进而可知是有理数．
（2）先证当 时，根据（1）中的结论可知是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出也是有理数，再假设时，结论成立，进而可知均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得，根据均是有理数推断出，即 时成立．最后综合原式得证．

试题解析：(1)设三边长分别为a，b，c，cos A＝，

∵a，b，c是有理数，

b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，

∴必为有理数，∴cos A是有理数.

(2)①当n＝1时，显然cos A是有理数；

当n＝2时，∵cos 2A＝2cos2A－1，

因为cos A是有理数，∴cos 2A也是有理数；

②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即cos kA，cos(k－1)A均是有理数.

当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A

＝cos kAcos A－ [cos(kA－A)－cos(kA＋A)]

＝cos kAcos A－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A

解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A

∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理数，

∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理数，

∴cos(k＋1)A是有理数.即当n＝k＋1时，结论成立.

综上所述，对于任意正整数n，cos nA是有理数.