Question

【题目】设椭圆方程为，离心率为， 是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点且， 的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线与直线的斜率之和为1，证明直线过定点，并求出该定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析， .

【解析】试题分析：

（1）由离心率可得，根据的面积为得到，然后在焦点三角形中利用余弦定理并结合定义可得，进而得到， ，于是得到椭圆的方程．（2）由题意设直线方程为，联立椭圆方程后得到二次方程，由根与系数的关系及可得，故直线方程为，即，可得过定点.

试题解析：

(1)由题意得，故．

∵，∴，

又， ，

在中，由余弦定理得

，

∴,

解得，

∴．

∴，

∴椭圆的方程为.

（2）由题意设直线方程为，

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于两点，

∴．

设点， ，

则，

由题意得，

即，

∴

整理得，

∴直线方程为，即，

∴直线过定点.