Question

【题目】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2 ，求DC的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有 ．
因为 ，所以 ．
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，
所以∠ADC=120°．…（3分）
于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x， ．
于是 ， ， ．
在△ABD中，由余弦定理，得 AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB，
即 ，得x=2．
故DC=2．

【解析】（Ⅰ）由正弦定理有 ，又 ，可得 ，结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，可求∠ADC，即可求B的值．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x， ，可求 ， ， ，由余弦定理即可计算得解DC的长．