【题目】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AC= DC.
(I)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(Ⅱ)若BD=2DC,且AD=2 ,求DC的长.
【答案】解:(Ⅰ)在△ABC中,根据正弦定理,有 .
因为 ,所以
.
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°>60°,
所以∠ADC=120°.…(3分)
于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°,所以∠B=60°.
(Ⅱ)设DC=x,则BD=2x,BC=3x, .
于是 ,
,
.
在△ABD中,由余弦定理,得 AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB,
即 ,得x=2.
故DC=2.
【解析】(Ⅰ)由正弦定理有 ,又
,可得
,结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°>60°,可求∠ADC,即可求B的值.(Ⅱ)设DC=x,则BD=2x,BC=3x,
,可求
,
,
,由余弦定理即可计算得解DC的长.
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【题目】若一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析,下表是一位母亲给儿子做的成长记录:
年龄/周岁 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
身高/cm | 91.8 | 97.6 | 104.2 | 110.9 | 115.6 | 122.0 | 128.5 |
年龄/周岁 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
身高/cm | 134.2 | 140.8 | 147.6 | 154.2 | 160.9 | 167.5 | 173.0 |
(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系?
(2)如果年龄相差5岁,则身高有多大差异(3~16岁之间)?
(3)如果身高相差20 cm,其年龄相差多少(3~16岁之间)?
(4)试判断该函数模型是否能够较好地反映年龄与身高的关系.
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【题目】设z1 , z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1﹣z2|=0,则 =
B.若z1= ,则
=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1? =z2?
D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
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【题目】如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图(样本容量n=200),若成绩不低于60分为及格,则样本中的及格人数是( )
A. 6 B. 36 C. 60 D. 120
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为 (t为参数,α为直线的倾斜角).
(I)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
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【题目】下表数据是水的温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果,y是以延长度计算的.
x/℃ | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 |
y/% | 40 | 50 | 55 | 60 | 67 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)指出x,y是否线性相关,若线性相关,求y关于x的回归方程;
(3)估计水的温度是1000 ℃时,黄酮延长性的情况.
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【题目】已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时, x2+ln x<
x3.
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