【题目】设函数,其中
.
若
,求函数
在区间
上的取值范围;
若
,且对任意的
,都有
,求实数a的取值范围.
若对任意的
,
,都有
,求t的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
; (3)
.
【解析】
(1)判断在
上的单调性,根据单调性求出
的最值,得出值域;
(2)令,根据对称轴与区间
,求出
得最大值,令
,解出
的取值范围;
(3)设函数在区间
上最大值为M,最小值为
,对任意的
,都有
等价于
,结合二次函数的图象与性质,即可求解.
因为,
所以在区间
上单调减,在区间
上单调增,且对任意的
,都有
,
若
,则
.
当
时
单调减,从而最大值
,最小值
.
所以的取值范围为
;
当
时
单调增,从而最大值
,最小值
.
所以的取值范围为
;
所以在区间
上的取值范围为
“对任意的
,都有
”等价于“在区间
上,
”.
若
,则
,
所以在区间
上单调减,在区间
上单调增.
当
,即
时,
由,得
,
从而.
当
,即
时,由
,得
,
从而.
综上,a的取值范围为区间
设函数
在区间
上的最大值为M,最小值为m,
所以“对任意的,
,都有
”等价于“
”.
当
时,
,
.
由,得
.
从而.
当
时,
,
.
由,得
.
从而.
当
时,
,
.
由,得
.
从而.
当
时,
,
.
由,得
.
从而.
综上,t的取值范围为区间
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C 与y 轴交于A,B 两点,且|AB|=2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x 轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.
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【题目】冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调查结果如下表所示:
分类 | 杂质高 | 杂质低 |
旧设备 | 37 | 121 |
新设备 | 22 | 202 |
根据以上数据,则( )
A. 含杂质的高低与设备改造有关
B. 含杂质的高低与设备改造无关
C. 设备是否改造决定含杂质的高低
D. 以上答案都不对
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【题目】如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AB=AD,BC=DC.
(1)求证:∥平面EFGH;
(2)求证:四边形EFGH是矩形.
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【题目】下列四种说法中,
①命题“存在x∈R,x2﹣x>0”的否定是“对于任意x∈R,x2﹣x<0”;
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;
③已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2, ),则f(4)的值等于
;
④已知向量 =(3,﹣4),
=(2,1),则向量
在向量
方向上的投影是
.
说法错误的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AC= DC.
(I)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(Ⅱ)若BD=2DC,且AD=2 ,求DC的长.
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【题目】如图,⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B,C,T,且与AT相切,交AB的延长线于点D.
(1)求证:AT2=BTAD;
(2)E、F是BC的三等分点,且DE=DF,求∠A.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为 (t为参数,α为直线的倾斜角).
(I)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
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