Question

【题目】在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 时，直线l的普通方程为x=﹣1；
当 时，直线l的普通方程为y=（tanα）（x+1）．…（2分）
由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，
所以x2+y2=2x，即为曲线C的直角坐标方程．…（4分）
（Ⅱ）把x=﹣1+tcosα，y=tsinα代入x2+y2=2x，整理得t2﹣4tcosα+3=0．当α= 时，方程化为：t2+3=0，方程不成立，当 时，由△=16cos2α﹣12=0，得 ，所以 或 ，
故直线l倾斜角α为 或
【解析】（Ⅰ）通过当 时，当 时，分别求出直线l的普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，然后求解曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）把x=﹣1+tcosα，y=tsinα代入x2+y2=2x，利用△=0，求解直线l倾斜角α．