【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C 与y 轴交于A,B 两点,且|AB|=2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x 轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得,2b=2,即b=1, ,得
,
解得a2=4,
椭圆C的标准方程为 ;
(Ⅱ)方法一、设P(x0 , y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,﹣1),
所以 ,直线PA的方程为
,
同理:直线PB的方程为 ,
直线PA与直线x=4的交点为 ,
直线PB与直线x=4的交点为 ,
线段MN的中点 ,
所以圆的方程为 ,
令y=0,则 ,
因为 ,所以
,
所以 ,
设交点坐标(x1 , 0),(x2 , 0),可得x1=4+ ,x2=4﹣
,
因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解,
所以 ,解得
.
则 (
)
所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.
方法二:设P(x0 , y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,﹣1),
所以 ,直线PA的方程为
,
同理:直线PB的方程为 ,
直线PA与直线x=4的交点为 ,
直线PB与直线x=4的交点为 ,
若以MN为直径的圆与x轴相交,
则 ,
即 ,
即 .
因为 ,所以
,
代入得到 ,解得
.
该圆的直径为 ,
圆心到x轴的距离为 ,
该圆在x轴上截得的弦长为 ;
所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.
方法三:设P(x0 , y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,﹣1),
所以 ,直线PA的方程为
,
同理:直线PB的方程为 ,
直线PA与直线x=4的交点为 ,
直线PB与直线x=4的交点为 ,
所以 ,
圆心到x轴的距离为 ,
若该圆与x轴相交,则 ,
即 ,
因为 ,所以
,
所以 ,解得
,
该圆在x轴上截得的弦长为 ;
所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2
【解析】(Ⅰ)由题意可得,2b=2,再由椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,解得a=2,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)方法一、设P(x0 , y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,﹣1),求出直线PA,PB的方程,与直线x=4的交点M,N,可得MN的中点,圆的方程,令y=0,求得与x轴的交点坐标,运用弦长公式,结合 .即可得到所求最大值;
方法二、设P(x0 , y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,﹣1),求出直线PA,PB的方程,与直线x=4的交点M,N,以MN为直径的圆与x轴相交,可得yMyN<0,求得 ,再由弦长公式,可得最大值;
方法三、设P(x0 , y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,﹣1),求出直线PA,PB的方程,与直线x=4的交点M,N,可得MN的长度,由直线和圆相交,可得 ,再由弦长公式,可得最大值.
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【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表如下所示:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
A班 | 14 | 6 | 20 |
B班 | 7 | 13 | 20 |
总计 | 21 | 19 | 40 |
则下列说法正确的是 ( )
A. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
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【题目】在直角坐标系中,已知圆的圆心坐标为
,半径为
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为:
(
为参数).
(1)求圆和直线l的极坐标方程;
(2)点的极坐标为
,直线l与圆
相交于A,B,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于直线x= 对称
B.关于点( ,0)对称
C.关于直线x=﹣ 对称
D.关于点( ,0)对称
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【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acosθ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程(化为标准方程)和直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与圆C只有一个公共点,且a<1,求a的值.
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