【题目】如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AB=AD,BC=DC.
(1)求证:∥平面EFGH;
(2)求证:四边形EFGH是矩形.
【答案】(1)见解析; (2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行一般证明线线平行或面面平行,本题中利用中点产生的中位线得到的EH∥BD来证明 平面;(2)由四个中点可利用中位线性质证明四边形为平行四边形,利用等腰三角形三线合一的性质得到平面(BD中点为O)从而得到,所以四边形是矩形
试题解析:(1)∵E,H分别为AB, DA的中点.
∴EH∥BD,又平面EFGH,平面EFGH,
平面EFGH;
(2)取BD中点O,连续OA,OC.
∵AB=AD,BC=DC.∴AO⊥BD,CO⊥BD,
又AO∩CO=0.∴BD⊥平面AOC.
∴BD⊥AC.
∵E,F,G,H为AB,BC,CD,DA的中点.
∴EH∥BD,且EH=BD;FG∥BD,且FG=BD,EF∥AC.
∴EH∥FG,且EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AC⊥BD,又EF∥AC,EH∥BD.∴EF⊥EH.∴四边形EFGH为矩形
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【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acosθ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程(化为标准方程)和直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与圆C只有一个公共点,且a<1,求a的值.
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【题目】若一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析,下表是一位母亲给儿子做的成长记录:
年龄/周岁 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
身高/cm | 91.8 | 97.6 | 104.2 | 110.9 | 115.6 | 122.0 | 128.5 |
年龄/周岁 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
身高/cm | 134.2 | 140.8 | 147.6 | 154.2 | 160.9 | 167.5 | 173.0 |
(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系?
(2)如果年龄相差5岁,则身高有多大差异(3~16岁之间)?
(3)如果身高相差20 cm,其年龄相差多少(3~16岁之间)?
(4)试判断该函数模型是否能够较好地反映年龄与身高的关系.
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【题目】设z1 , z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1﹣z2|=0,则 =
B.若z1= ,则 =z2
C.若|z1|=|z2|,则z1? =z2?
D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为 (t为参数,α为直线的倾斜角).
(I)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
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【题目】某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动,要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.
(1)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数不相等的概率.
(2)从该班中任意选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
(3)从该班中任意选两名学生,用η表示这两人参加活动次数之和,记“函数f(x)=x2﹣ηx﹣1在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
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