Question

14．如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BD=PC，若沿AB将三角形PAB折起，使∠PAD=θ，构成四棱锥P-ABCD，且$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2．

（1）求证：平面BEF⊥平面PAB；
（2）当异面直线BF与PA所成的角为$\frac{π}{3}$时，求折起的角度θ．

Answer 1

分析 （1）先证明平面BEF∥平面PAD，再证明AB⊥平面PAB，得出AB⊥平面BEF，故而平面BEF⊥平面PAB；
（2）取PD的中点G，连接FG，AG，证明四边形ABFG是平行四边形得出AG∥BF，故∠PAG=$\frac{π}{3}$，于是∠PAD=2∠PAG=$\frac{2π}{3}$．

解答 解：（1）∵$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2．
∴E，F分别是CD，PC的中点，
∴EF∥PD，
又AB∥CD，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD，
∴平面BEF∥平面PAD．
∵2BD=PC，∴∠ADC=90°，
∴AB⊥PA，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥平面BEF，
又AB?平面PAB，
∴平面BEF⊥平面PAB．
（2）取PD的中点G，连接FG，AG，
则FG∥CD，$FG=\frac{1}{2}CD$，又AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
∴FG∥AB，FG=AB，
∴四边形ABFG为平行四边形，
∴BF∥AG，
∴∠PAG即为异面直线BF与PA所成的角，即∠PAG=$\frac{π}{3}$．
∵PA=AD，
∴∠θ=2∠PAG=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，异面直线所成角的计算，属于中档题．