Question

（2007•上海模拟）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin

πx

3

．
（1）判断g（x）与M的关系，并说明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；
（3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的解析式，把函数代入f（x）+f（x+2）=f（x+1）进行验证，得到三角函数符合集合的元素具有的条件，得到g（x）∈M．
（2）根据g（x）是周期为6的周期函数，猜测f（x）也是周期为6的周期函数，由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），得到f（x+3）=-f（x），得证f（x）是周期为6的周期函数．
（3）令h(x)=cos

πx

3

，可证得h（x）+h（x+2）=h（x+1），h（x）∈M，但h（x）是偶函数，不是奇函数，得到结论．

解答：解：（1）∵g(x)+g(x+2)=sin

πx

3

+sin(

πx

3

+

2π

3

)=2sin

π

3

(x+1)cos

π

3

=sin

π

3

(x+1)=g(x+1)∴g（x）∈M…（6分）
（2）因g（x）是周期为6的周期函数，猜测f（x）也是周期为6的周期函数
由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），
∴f（x）+f（x+2）+f（x+1）+f（x+3）=f（x+1）+f（x+2）
∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），得证f（x）是周期为6的周期函数，
故M中的元素都是周期为6的周期函数．…（12分）
（3）令h(x)=cos

πx

3

，可证得h（x）+h（x+2）=h（x+1）…（16分）
∴h（x）∈M，但h（x）是偶函数，不是奇函数，
∴M中的元素不都是奇函数．…（18分）

点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的周期性，本题解题的关键是对于所给的抽象式的整理应用，本题是一个中档题目．