Question

设等比数列{a_n}的各项均为正数，项数为偶数，又知该数列的所有项的和等于所有偶数项和的4倍，而且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{lga_n}的前n项和为S_n，求使S_n值最大的正整数n的值．（其中lg2=0.3，lg3=0.4）

Answer 1

分析：（1）首先判断出公比q≠1，把所有项的和等于所有偶数项和的4倍，而且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍．转化为关于首项和公比的方程组，并求解，得出首项和公比后，根据等比数列通项公式即可求解．
（2）将a_n变形为an=108×(

1

3

)n-1=4×3^4-n，为求和S_n，宜进一步判断出数列{lga_n}是等差数列，由此S_n，是关于n的二次函数，再利用二次函数的性质求解．

解答：解：（1）由已知q≠1，否则奇数项的和等于偶数项和，数列的所有项的和等于所有偶数项和的2倍，
与已知矛盾．
设数列{a_n}的项数为2k，公比为q，则

a1(1-q2k) 1-q = 4a2(1-(q2)k) 1-q2 ① a2•a4=9(a3+a4)②

解①得q=

1

3

，代入②得a₁=108，
所以数列{a_n}的通项公式为an=108×(

1

3

)n-1．
（2）∵an=108×(

1

3

)n-1=4×3^4-n，
∴lga_n=lg4+（4-n）lg3=2lg2+（4-n）lg3=2.2-0.4n，
∵lga_n+1-lga_n=-0.4，
∴数列{lga_n}是等差数列，首项为1.8，公差为-0.4，
∴S_n=1.8n+

n(n-1)

2

×（-0.4）=-0.2n²+2n=-0.2（n-5）²+5
∴S_n值最大值为5，当n=5时取得．

点评：本题考查数列的通项公式，求和公式，对数的运算，数列的函数性质．考查推理论证、转化求解能力．