Question

8．已知函数f（x）=tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），若x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$），且x₁≠x₂
（Ⅰ）用分析法证明：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）；
（Ⅱ）借助图象，分析函数y₁=e^x，y₂=lnx是否符合上述性质（无需证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分析法的证明步骤证明：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）；
（Ⅱ）作出函数y₁=e^x，y₂=lnx的图象，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{sin{x}_{1}}{cos{x}_{1}}$+$\frac{sin{x}_{2}}{cos{x}_{2}}$）=$\frac{sin（{x}_{1}+{x}_{2}）}{cos（{x}_{1}+{x}_{2}）+cos（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
又∵f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）=tan$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$=$\frac{sin（{x}_{1}+{x}_{2}）}{1+cos（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
欲证$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$），只需证$\frac{sin（{x}_{1}+{x}_{2}）}{cos（{x}_{1}+{x}_{2}）+cos（{x}_{1}-{x}_{2}）}$＞$\frac{sin（{x}_{1}+{x}_{2}）}{1+cos（{x}_{1}+{x}_{2}）}$．
∵x₁、x₂∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（x₁+x₂）＞0．
因此只需证cos（x₁+x₂）+cos（x₁-x₂）＜1+cos（x₁+x₂），即证cos（x₁-x₂）＜1．
∵x₁、x₂∈（0，$\frac{π}{2}$）且x₁≠x₂，
∴x₁-x₂∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）且x₁-x₂≠0．
∴cos（x₁-x₂）＜1成立．故原不等式成立．
（Ⅱ）解：y₁=e^x，如图所示：

具有上述性质；
y₂=lnx，如图所示：

不具有上述性质．

点评 本题考查分析法证明不等式，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．