Question

13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=4，f′（x）＜2，则f（x³）＞2x³+2的解集是（-1，1）．

Answer 1

分析 构造辅助函数F（x）=f（x）-2x，求导，f′（x）＜2，F（x）单调递减，将f（x³）＞2x³+2转化成f（x³）-2x³＞f（1）-2×1，根据函数单调性得x²＜1，即可解得x的取值范围．

解答 解：令F（x）=f（x）-2x，又f'（x）＜2，
则F'（x）=f'（x）-2＜0
∴F（x）在R上单调递减
∵f（1）=4，
∴f（x³）＞2x³+2可转化成f（x³）-2x³＞f（1）-2×1，
即F（x²）＞F（1），
根据F（x）在R上单调递减则：x²＜1，
解得：-1＜x＜1，
故答案为：（-1，1）．

点评 本题利用导数研究函数单调性，根据已知函数构造辅助函数，考查学生会利用函数的单调性解决实际问题的能力，属于中档题．