Question

3．如图，已知AB，ACD分别为圆的一条切线和一条割线，M，N为圆上两点，DM延长线与CN延长线交于点E．
（Ⅰ）若EN：ED=1：4，求MN：CD的值；
（Ⅱ）若MN∥AE，求证AE=AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△ENM∽△EDC，利用EN：ED=1：4，求可MN：CD的值；
（Ⅱ）若MN∥AE，证明△AEC∽△ADE，可得AE²=AC•AD，利用切割线定理可得AB²=AC•AD，即可证明AE=AB．

解答 解：（Ⅰ）由已知C，M，N，D四点共圆，可得∠ENM=∠EDC，
所以△ENM∽△EDC，
所以MN：CD=EN：ED=1：4．…（5分）
（Ⅱ）已知∠ENM=∠EDC，而MN∥AE，故∠ENM=∠AEC，
所以∠EDC=∠AEC，
所以△AEC∽△ADE，所以$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即AE²=AC•AD，
而AB，ACD分别为圆的一条切线和一条割线，
所以AB²=AC•AD，因此AE=AB．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．