Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个论断：
①f（-

1

2

）=

1

2

；②f（3.4）=-0.4
③f（-

1

4

）＜f（

1

4

）  ④y=f（x）的定义域为R，值域是[一

1

2

，

1

2

]．
则其中论断正确的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据题意，画出函数f（x）的图象，结合函数的图象与解析式，对以下4个命题进行判断即可．

解答： 解：由题意x-{x}=x-m，
∴f（x）=x-{x}=x-m，
当m=0时，-

1

2

＜x≤

1

2

，∴f（x）=x，
当m=1时，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=x-1；
当m=2时，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=x-2；
…；
画出函数的图象，如图所示；
由图象知，①f（-

1

2

）=-

1

2

-（-1）=

1

2

，∴①正确；
②f（3.4）=3.4-3=0.4，∴②错误；
③f（x）在（-

1

2

，

1

2

]上是增函数，∴f（-

1

4

）＜f（

1

4

），∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是（-

1

2

，

1

2

]，∴④错误；
综上，正确的命题是①③．
故选：B．

点评：本题考查了新定义的题目，解题的关键是读懂定义的内涵，尝试探究解决，是较难的题目．