Question

20．已知f（x）=x+$\frac{9}{x}$+3，g（x）=-x²+6x，若存在正数m，n使得f（m）=g（n），则m+$\frac{1}{n}$=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$+3在x＞0时的最小值，g（x）=-x²+6x，在x＞0时的最大值，求出m，n即可得到m+$\frac{1}{n}$．

解答 解：在x＞0时，f（x）=x+$\frac{9}{x}$+3≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}+3$=9，最小值为9，此时x=3．
g（x）=-x²+6x=-（x-3）²+9≤9，函数的最大值为9，此时x=3，
存在正数m，n使得f（m）=g（n），
可得m=n=3，m+$\frac{1}{n}$=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．