Question

12．化简：
（Ⅰ）sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）
（Ⅱ）tan20°+tan40°+$\sqrt{3}tan{20°}tan{40°}$．

Answer 1

分析 分别三角函数的和差公式，切和弦的互化，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）$sin{50°}（1+\sqrt{3}tan{10°}）$，
=$sin{50°}（1+\sqrt{3}\frac{{sin{{10}°}}}{{cos{{10}°}}}）$，
=$sin{50°}（\frac{{cos{{10}°}+\sqrt{3}sin{{10}°}}}{{cos{{10}°}}}）$，
=$sin{50°}\frac{{2（\frac{1}{2}cos{{10}°}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin{{10}°}）}}{{cos{{10}°}}}$，
=$sin{50°}\frac{{2cos{{50}°}}}{{cos{{10}°}}}$，
=$\frac{{sin{{100}°}}}{{cos{{10}°}}}$，
=$\frac{{cos{{10}°}}}{{cos{{10}°}}}=1$；
（Ⅱ）因为tan20°+tan40°=tan（20°+40°）（1-tan20°tan40°）
所以$tan{20°}+tan{40°}+\sqrt{3}tan{20°}tan{40°}$=$\sqrt{3}-\sqrt{3}tan{20°}tan{40°}+\sqrt{3}tan{20°}tan{40°}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查两角和的函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．