Question

20．在平面直角坐标系中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），P（cosγ，sinγ）α，β，γ∈[0，2π），α≠β≠γ，设f（x）=|$\overrightarrow{BP}$-x$\overrightarrow{BA}$|（x∈R）的最小值为M（γ），若M（γ）的最大值为$\frac{5}{4}$，则|$\overrightarrow{AB}$|的值等于$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

Answer 1

分析 设x$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$，则f（x）=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，由假设可得点C在直线AB上，故f（x）的最小值M为点P到AB的距离，再由圆的弦长公式可得结论．

解答 解：由A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），P（cosγ，sinγ），可得
A，B，P均在单位圆上，
设x$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$，则f（x）=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，
由假设可得点C在直线AB上，
可得f（x）的最小值M为点P到AB的距离，
由M_max=$\frac{5}{4}$，
可得|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查圆的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．